Задача 56863

Тема:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8

Условие

Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, длины высот — целые числа. Докажите, что треугольник правильный.

Решение

В любом треугольнике высота больше диаметра вписанной окружности. Поэтому длины высот — целые числа, большие 2, т. е. все они не меньше 3. Пусть S — площадь треугольника, a — наибольшая его сторона, h — соответствующая высота.
Предположим, что треугольник неправильный. Тогда его периметр P меньше 3a. Поэтому  3a > P = Pr = 2S = ha, т. е. h < 3. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	3
Название	Правильный треугольник
Тема	Правильный (равносторонний) треугольник
задача
Номер	05.029