Условие
Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, длины
высот — целые числа. Докажите, что треугольник правильный.
Решение
В любом треугольнике высота больше диаметра вписанной
окружности. Поэтому длины высот — целые числа, большие 2, т. е.
все они не меньше 3. Пусть
S — площадь треугольника,
a — наибольшая его сторона,
h — соответствующая высота.
Предположим, что треугольник неправильный. Тогда его периметр
P
меньше 3
a. Поэтому
3
a >
P =
Pr = 2
S =
ha, т. е.
h < 3. Получено
противоречие.
Источники и прецеденты использования
