Задача 56865

Тема:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC с углом A, равным  120^o, биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке O. Докажите, что  A₁C₁O = 30^o.

Решение

Согласно решению задачи 5.30 луч A₁C₁ является биссектрисой угла AA₁B. Пусть K — точка пересечения биссектрис треугольника A₁AB. Тогда  C₁KO = A₁KB = 90^o + A/2 = 120^o. Поэтому  C₁KO + C₁AO = 180^o, т. е. четырехугольник AOKC₁ вписанный. Следовательно,  A₁C₁O = KC₁O = KAO = 30^o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	4
Название	Треугольники с углами 60 и 120 градусов
Тема	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер	05.031