Задача 56869

Тема:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC с углом A, равным  60^o, высоты пересекаются в точке H.
а) Пусть M и N — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам BH и CH со сторонами AB и AC соответственно. Докажите, что точки M, N и H лежат на одной прямой.
б) Докажите, что на той же прямой лежит центр O описанной окружности.

Решение

а) Пусть M₁ и N₁ — середины отрезков BH и CH, BB₁ и CC₁ — высоты. Прямоугольные треугольники ABB₁ и BHC₁ имеют общий острый угол при вершине B, поэтому  C₁HB = A = 60^o. Так как треугольник BMH равнобедренный,  BHM = HBM = 30^o. Следовательно,  C₁HM = 60^o - 30^o = 30^o = BHM, т. е. точка M лежит на биссектрисе угла C₁HB. Аналогично точка N лежит на биссектрисе угла B₁HC.
б) Воспользуемся обозначениями задачи а), и пусть, кроме того, B' и C' — середины сторон AC и AB. Так как  AC₁ = AC cos A = AC/2, то  C₁C' = | AB - AC|/2. Аналогично  B₁B' = | AB - AC|/2, т. е.  B₁B' = C₁C'. Следовательно, параллельные прямые BB₁ и B'O, CC₁ и C'O образуют не просто параллелограмм, а ромб. Поэтому его диагональ HO является биссектрисой угла при вершине H.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	4
Название	Треугольники с углами 60 и 120 градусов
Тема	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер	05.034