Задача 56873

Тема:    [ Целочисленные треугольники ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон — целые числа. Докажите, что эти числа равны 3, 4, 5.

Решение

Пусть p — полупериметр треугольника, а a, b, c — длины его сторон. По формуле Герона  S² = p(p - a)(p - b)(p - c). С другой стороны,  S² = p²r² = p², так как r = 1. Поэтому  p = (p - a)(p - b)(p - c). Если ввести неизвестные  x = p - a, y = p - b, z = p - c, то это уравнение перепишется в виде x + y + z = xyz. Заметим, что число p целое или полуцелое (т. е. число вида (2n + 1)/2, где n целое), поэтому все числа x, y, z одновременно целые или полуцелые. Но если они полуцелые, то число x + y + z полуцелое, а число xyz имеет вид m/8, где число m нечетное. Следовательно, числа x, y, z целые. Пусть для определенности  x y z. Тогда  xyz = x + y + z 3z, т. е. xy 3. Возможны три случая.
1. x = 1, y = 1. Тогда 2 + z = z, чего не может быть.
2. x = 1, y = 2. Тогда 3 + z = 2z, т. е. z = 3.
3. x = 1, y = 3. Тогда 4 + z = 3z, т. е. z = 2 < y, чего не может быть.
Итак,  x = 1, y = 2, z = 3. Поэтому p = x + y + z = 6 и  a = p - x = 5, b = 4, c = 3.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	5
Название	Целочисленные треугольники
Тема	Целочисленные треугольники
задача
Номер	05.038