Задача 56876

Темы:    [ Целочисленные треугольники ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

а) В треугольнике ABC, длины сторон которого рациональные числа, проведена высота BB₁. Докажите, что длины отрезков AB₁ и CB₁ — рациональные числа.
б) Длины сторон и диагоналей выпуклого четырехугольника — рациональные числа. Докажите, что диагонали разрезают его на четыре треугольника, длины сторон которых — рациональные числа.

Решение

а) Так как  AB² - AB₁² = BB₁² = BC² - (AC±AB₁)², то  AB₁ = ±(AB²+AC²-BC²)/2AC.
б) Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажем, например, что число q = BO/OD рациональное (тогда число  OD = BD/(q + 1) тоже рациональное). Проведем в треугольниках ABC и ADC высоты BB₁ и DD₁. Согласно задаче а) числа AB₁ и CD₁ рациональные, а значит, число B₁D₁ тоже рациональное. Пусть E — точка пересечения прямой BB₁ и прямой, проходящей через точку D параллельно AC. В прямоугольном треугольнике BDE катет ED = B₁D₁ и гипотенуза BD — рациональные числа, поэтому число BE² тоже рациональное. Из треугольников ABB₁ и CDD₁ получаем, что числа BB₁² и DD₁² рациональные. А так как  BE² = (BB₁ + DD₁)² = BB₁² + DD₁² + 2BB₁ ^. DD₁, то число  BB₁ ^. DD₁ рациональное. Следовательно, число  BO/OD = BB₁/DD₁ = BB₁ ^. DD₁/DD₁² рациональное.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	5
Название	Целочисленные треугольники
Тема	Целочисленные треугольники
задача
Номер	05.041