Задача 56881

Темы:    [ Тригонометрические уравнения ] [ Разложение на множители ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Пусть  x = sin 18°.  Докажите, что  4x² + 2x = 1.

Решение 1

sin 3·18° = cos 2·18°,  то есть  3x – 4x³ = 1 – 2x².  Полученное уравнение можно записать в виде  (4x² + 2x – 1)(x – 1) = 0.  Поскольку  x ≠ 1,  то
4x² + 2x – 1 = 0.

Решение 2

Пусть AD – биссектриса равнобедренного треугольника ABC с основанием AB и углом 36° при вершине C. Тогда треугольник ACD равнобедренный и треугольники ABC и BDA подобны. Поэтому  CD = AD = AB = 2xBC  и  DB = 2xAB = 4x²BC,  а значит,  BC = CD + DB = (2x + 4x²)BC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Треугольники (прочее)
задача
Номер	05.046