Задача 56883

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Средняя линия треугольника ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что проекции вершины A треугольника ABC на биссектрисы внешних и внутренних углов при вершинах B и C лежат на одной прямой.

Решение

Пусть B₁ и B₂ – проекции точки A на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине B, M – середина стороны AB. Так как биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны, то AB₁BB₂ – прямоугольник, и его диагональ B₁B₂ проходит через точку M. Кроме того,
∠B₁MB = 180° – 2∠MBB₁ = 180° – ∠B.  Следовательно,  B₁B₂ || BC,  а значит, прямая B₁B₂ совпадает со средней линией, соединяющей середины сторон AB и AC. Аналогично доказывается, что проекции точки A на биссектрисы углов при вершине C лежат на той же средней линии.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Треугольники (прочее)
задача
Номер	05.047