Задача 56885

Темы:    [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

а) В треугольниках ABC и A'B'C' равны стороны AC и A'C', углы при вершинах B и B' и биссектрисы углов B и B'.
Докажите, что эти треугольники равны (точнее говоря, треугольник ABC равен треугольнику A'B'C' или треугольнику C'B'A').
б) Через точку D биссектрисы BB₁ угла ABC проведены прямые AA₁ и CC₁ (точки A₁ и C₁ лежат на сторонах треугольника).
Докажите, что если  AA₁ = CC₁,  то  AB = BC.

Решение

  а) Согласно задаче 56798 длина биссектрисы угла B треугольника ABC равна     поэтому достаточно проверить, что система уравнений     a² + c² – 2ac cos B = q  имеет (с точностью до перестановки чисел a и c) единственное положительное решение. Пусть  a + c = u.  Тогда
ac = pu  и  q = u² – 2pu(1 + cos β).  Произведение корней этого квадратного уравнения относительно u равно –q, поэтому оно имеет единственный положительный корень. Ясно, что система уравнений  a + c = u,  ac = pu  имеет единственное решение.

  б) В треугольниках AA₁B и CC₁B равны стороны AA₁ и CC₁, углы при вершине B и биссектрисы углов при вершине B. Согласно а) эти треугольники равны, а значит,  AB = BC  или  AB = BC₁.  Второе равенство выполняться не может.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Треугольники (прочее)
задача
Номер	05.049