Условие
Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что треугольники
ABC, HBC, AHC и ABH имеют общую
окружность девяти точек.
б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников
ABC, HBC, AHC и ABH
пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что центры описанных окружностей
треугольников
ABC, HBC, AHC и ABH образуют четырехугольник,
симметричный четырехугольнику HABC.
Решение
а) Докажем, например, что треугольники ABC и HBC
имеют общую окружность девяти точек. В самом деле, окружности
девяти точек обоих треугольников проходят через середину стороны BC
и середины отрезков BH и CH.
б) Прямая Эйлера проходит через центр окружности девяти
точек, а окружность девяти точек у этих треугольников общая.
в) Центром симметрии является центр окружности девяти точек
этих треугольников.
Источники и прецеденты использования
