Задача 56960

Тема:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Какие стороны пересекает прямая Эйлера в остроугольном и тупоугольном треугольниках?

Решение

Пусть AB > BC > CA. Легко проверить, что для остроугольного и тупоугольного треугольников точка H пересечения высот и центр O описанной окружности расположены именно так, как на рис. (т. е. для остроугольного треугольника точка O лежит внутри треугольника BHC₁, а для тупоугольного точки O и B лежат по одну сторону от прямой CH). Поэтому в остроугольном треугольнике прямая Эйлера пересекает наибольшую сторону AB и наименьшую сторону AC, а в тупоугольном треугольнике — наибольшую сторону AB и среднюю по длине сторону BC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	11
Название	Прямая Эйлера и окружность девяти точек
Тема	Прямая Эйлера и окружность девяти точек
задача
Номер	05.108