Условие
Докажите, что если прямая Эйлера проходит через
центр вписанной окружности треугольника, то треугольник равнобедренный.
Решение
Пусть
O и
I — центры описанной и вписанной
окружностей треугольника
ABC,
H — точка пересечения высот;
прямые
AI и
BI пересекают описанную окружность в точках
A1
и
B1. Предположим, что треугольник
ABC не равнобедренный. Тогда
OI :
IH =
OA1 :
AH и
OI :
IH =
OB1 :
BH. Так
как
OB1 =
OA1, то
AH =
BH, а значит,
AC =
BC. Приходим к
противоречию.
Источники и прецеденты использования
