Задача 56964

Тема:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 5+ Классы: 9

Условие

Докажите, что если прямая Эйлера проходит через центр вписанной окружности треугольника, то треугольник равнобедренный.

Решение

Пусть O и I — центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC, H — точка пересечения высот; прямые AI и BI пересекают описанную окружность в точках A₁ и B₁. Предположим, что треугольник ABC не равнобедренный. Тогда  OI : IH = OA₁ : AH и  OI : IH = OB₁ : BH. Так как OB₁ = OA₁, то AH = BH, а значит, AC = BC. Приходим к противоречию.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	11
Название	Прямая Эйлера и окружность девяти точек
Тема	Прямая Эйлера и окружность девяти точек
задача
Номер	05.112