Информация о задаче

Задача 56966

Тема:

[

Прямая Эйлера и окружность девяти точек

]

Сложность: 7
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Пусть A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ — диаметры окружности девяти точек треугольника ABC. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке (или параллельны).

Решение

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, E и M — середины отрезков CH и AB (рис.). Тогда C₁MC₂E — прямоугольник. Пусть прямая CC₂ пересекает прямую AB в точке C₃. Докажем, что $\overline{AC_3}$ : $\overline{C_3B}$ = tg2 $\beta$ : tg2 $\alpha$ . Легко проверить, что $\overline{C_3M}$ : $\overline{C_2E}$ = $\overline{MC_2}$ : $\overline{EC}$ , $\overline{EC}$ = R cos $\gamma$ , $\overline{MC_2}$ = $\overline{C_1E}$ = 2R sin $\alpha$ sin $\beta$ - R cos $\gamma$ и $\overline{C_2E}$ = $\overline{MC_1}$ = R sin( $\beta$ - $\alpha$ ), поэтому

$\displaystyle \overline{C_3M}$ = R sin( $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \alpha$ )(2 sin $\displaystyle \beta$ sin $\displaystyle \alpha$ - cos $\displaystyle \gamma$ )/cos $\displaystyle \gamma$ = R sin( $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \alpha$ )cos( $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \alpha$ )/cos $\displaystyle \gamma$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{\overline{AC_3}}{\overline{C_3B}}}$ = $\displaystyle {\frac{\overline{AM}+\overline{MC_3}}{\overline{C_3M}+\overline{MB}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin2\gamma +\sin2(\alpha -\beta )}{\sin2\gamma -\sin2(\alpha -\beta )}}$ = $\displaystyle {\frac{{\rm tg}2\beta }{{\rm tg}2\alpha }}$ .

Аналогичные рассуждения показывают, что

$\displaystyle {\frac{\overline{AC_3}}{\overline{C_3B}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\overline{BA_3}}{\overline{A_3C}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\overline{CB_3}}{\overline{B_3A}}}$ = $\displaystyle {\frac{{\rm tg}2\beta }{{\rm tg}2\alpha }}$ ^. $\displaystyle {\frac{{\rm tg}2\gamma }{{\rm tg}2\beta }}$ ^. $\displaystyle {\frac{{\rm tg}2\alpha }{{\rm tg}2\gamma }}$ = 1.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	11
Название	Прямая Эйлера и окружность девяти точек
Тема	Прямая Эйлера и окружность девяти точек
задача
Номер	05.114