Условие
Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей
вписанного четырехугольника на его стороны являются вершинами
описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения
сторон.
Решение
Пусть
O — точка пересечения диагоналей
AC и
BD;
A1,
B1,
C1 и
D1 — ее проекции на стороны
AB,
BC,
CD и
DA.
Точки
A1 и
D1 лежат на окружности с диаметром
AO,
поэтому
OA1D1 =
OAD1. Аналогично
OA1B1 =
OBB1. А так как
CAD =
CBD, то
OA1D1 =
OA1B1. Аналогично доказывается, что
B1O,
C1O
и
D1O — биссектрисы углов четырехугольника
A1B1C1D1,
т. е.
O — центр его вписанной окружности.
Источники и прецеденты использования
