Задача 57027

Тема:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны являются вершинами описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD;  A₁, B₁, C₁ и D₁ — ее проекции на стороны AB, BC, CD и DA. Точки A₁ и D₁ лежат на окружности с диаметром AO, поэтому  OA₁D₁ = OAD₁. Аналогично  OA₁B₁ = OBB₁. А так как  CAD = CBD, то  OA₁D₁ = OA₁B₁. Аналогично доказывается, что B₁O, C₁O и D₁O — биссектрисы углов четырехугольника  A₁B₁C₁D₁, т. е. O — центр его вписанной окружности.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанные и описанные четырехугольники
Тема	Вписанные четырехугольники
задача
Номер	06.016