Информация о задаче

Задача 57028

Тема:

[

Вписанные четырехугольники (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то проекции точки пересечения диагоналей на стороны являются вершинами вписанного четырехугольника.

Решение

Воспользуемся обозначениями рис. Условие вписанности четырехугольника A₁B₁C₁D₁ эквивалентно тому, что ( $\alpha$ + $\beta$ ) + ( $\gamma$ + $\delta$ ) = 180^o, а перпендикулярность диагоналей AC и BD — тому, что ( $\alpha_{1}^{}$ + $\delta_{1}$ ) + ( $\beta_{1}^{}$ + $\gamma_{1}^{}$ ) = 180^o. Ясно также, что $\alpha$ = $\alpha_{1}^{}$ , $\beta$ = $\beta_{1}^{}$ , $\gamma$ = $\gamma_{1}^{}$ и $\delta$ = $\delta_{1}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанные и описанные четырехугольники
Тема	Вписанные четырехугольники
задача
Номер	06.017