Задача 57048

Темы:    [ Теорема Птолемея ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Условие

Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны d_a, d_b и d_c. Докажите, что  d_a + d_b + d_c = R + r.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, CA и AB. По теореме Птолемея  AC₁ ^. OB₁ + AB₁ ^. OC₁ = AO ^. B₁C₁, где O — центр описанной окружности. Поэтому  cd_b + bd_c = aR. Аналогично  ad_c + cd_a = bR и  ad_b + bd_a = cR. Кроме того,  ad_a + bd_b + cd_c = 2S = (a + b + c)r. Складывая все эти равенства и сокращая на a + b + c, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	3
Название	Теорема Птолемея
Тема	Теорема Птолемея
задача
Номер	06.037