Информация о задаче

Задача 57049

Тема:

[

Теорема Птолемея

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Вписанная окружность касается сторон BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁. Пусть Q — середина отрезка A₁B₁. Докажите, что $\angle$ B₁C₁C = $\angle$ QC₁A₁.

Решение

Пусть P — вторая точка пересечения отрезка CC₁ с вписанной окружностью. Тогда $\angle$ AB₁C₁ = $\angle$ B₁PC₁, поэтому $\triangle$ CPB₁ $\sim$ $\triangle$ CB₁C₁, а значит, PB₁/B₁C₁ = CP/CB₁. Аналогично доказывается, что CP/CA₁ = PA₁/A₁C₁. Учитывая, что CA₁ = CB₁, получаем PB₁^.A₁C₁ = PA₁^.B₁C₁.
По теореме Птолемея PB₁^.A₁C₁ + PA₁^.B₁C₁ = PC₁^.A₁B₁, т.е. 2PB₁^.A₁C₁ = 2PC₁^.QA₁. Ясно также, что $\angle$ B₁PC₁ = $\angle$ QA₁C₁. Поэтому $\triangle$ B₁PC₁ $\sim$ $\triangle$ QA₁C₁, а значит, $\angle$ BC₁P = $\angle$ QC₁A₁.
Замечание. Утверждение задачи можно переформулировать следующим образом: точка Жергонна треугольника ABC совпадает с точкой Лемуана треугольника A₁B₁C₁.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	3
Название	Теорема Птолемея
Тема	Теорема Птолемея
задача
Номер	06.040B