Информация о задаче

Задача 57052

Тема:

[

Теорема Птолемея

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Дан параллелограмм ABCD. Окружность, проходящая через точку A, пересекает отрезки AB, AC и AD в точках P, Q и R соответственно. Докажите, что AP^.AB = AR^.AD = AQ^.AC.

Решение

Применяя теорему Птолемея к четырехугольнику APQR, получаем AP^.RQ + AR^.QP = AQ^.PR. Так как $\angle$ ACB = $\angle$ RAQ = $\angle$ RPQ и $\angle$ RQP = 180^o - $\angle$ PAR = $\angle$ ABC, то $\triangle$ RQP $\sim$ $\triangle$ ABC, а значит, RQ : QP : PR = AB : BC : CA. Остается заметить, что BC = AD.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	3
Название	Теорема Птолемея
Тема	Теорема Птолемея
задача
Номер	06.040