Условие
Дан параллелограмм
ABCD. Окружность, проходящая
через точку
A, пересекает отрезки
AB,
AC и
AD в точках
P,
Q и
R
соответственно. Докажите, что
AP . AB =
AR . AD =
AQ . AC.
Решение
Применяя теорему Птолемея к четырехугольнику
APQR,
получаем
AP . RQ +
AR . QP =
AQ . PR. Так как
ACB =
RAQ =
RPQ и
RQP = 180
o -
PAR =
ABC, то
RQP 
ABC, а значит,
RQ :
QP :
PR =
AB :
BC :
CA. Остается заметить, что
BC =
AD.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
6 |
|
Название |
Многоугольники |
|
Тема |
Многоугольники |
|
параграф |
|
Номер |
3 |
|
Название |
Теорема Птолемея |
|
Тема |
Теорема Птолемея |
|
задача |
|
Номер |
06.040 |
