Задача 57054

Тема:    [ Теорема Птолемея ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

Окружности радиуса x и y касаются окружности радиуса R, причем расстояние между точками касания равно a. Вычислите длину следующей общей касательной к первым двум окружностям:
а) внешней, если оба касания внешние или внутренние одновременно;
б) внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее.

Решение

Пусть оба касания внешние и x y. Прямая, проходящая через центр O окружности радиуса x параллельно отрезку, соединяющему точки касания, пересекает окружность радиуса y - x (с центром в центре окружности радиуса y) в точках A и B (рис.). Тогда  OA = a(R + x)/R и  OB = OA + a(y - x)/R = a(R + y)/R. Квадрат искомой длины общей внешней касательной равен

OA ^. OB = (a/R)²(R + x)(R + y).

Аналогичные рассуждения показывают, что если оба касания внутренние, то квадрат длины внешней касательной равен  (a/R)²(R - x)(R - y), а если окружность радиуса x касается внешне, а окружность радиуса y — внутренне, то квадрат длины внутренней касательной равен  (a/R)²(R - y)(R + x).
Замечание. В случае внутреннего касания окружностей предполагается, что R > x и R > y.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	3
Название	Теорема Птолемея
Тема	Теорема Птолемея
задача
Номер	06.042