Задача 57060

Тема:    [ Шестиугольники ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что:
а) площадь треугольника ACE составляет не менее половины площади шестиугольника.
б) площади треугольников ACE и BDF равны.

Решение

Проведем через точки A, C и E прямые l₁, l₂ и l₃, параллельные прямым BC, DE и FA соответственно. Обозначим точки пересечения прямых l₁ и l₂, l₂ и l₃, l₃ и l₁ через P, Q, R соответственно (рис.). Тогда

S_ACE = (S_ABCDEF - S_PQR)/2 + S_PQR = (S_ABCDEF + S_PQR)/2 S_ABCDEF/2.

Аналогично  S_BDF = (S_ABCDEF + S_P'Q'R')/2. Ясно, что PQ = | AB - DE|, QR = | CD - AF|, PR = | EF - BC|, поэтому треугольники PQR и P'Q'R' равны. Следовательно,  S_ACE = S_BDF.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	5
Название	Шестиугольники
Тема	Шестиугольники
задача
Номер	06.048