Задача 57063

Тема:    [ Шестиугольники ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике каждая из трех диагоналей, соединяющих противоположные вершины, делит площадь пополам, то эти диагонали пересекаются в одной точке.

Решение

Предположим, что диагонали шестиугольника образуют треугольник PQR. Обозначим вершины шестиугольника следующим образом: вершина A лежит на луче QP, B — на RP, C — на RQ и т. д. Так как прямые AD и BE делят площадь шестиугольника пополам, то  S_APEF + S_PED = S_PDCB + S_ABP и  S_APEF + S_ABP = S_PDCB + S_PED. Поэтому  S_ABP = S_PED, т. е.

AP ^. BP = EP ^. DP = (ER + RP)(DQ + QP) > ER ^. DQ.

Аналогично  CQ ^. DQ > AP ^. FR и  FR ^. ER > BP ^. CQ. Перемножая эти неравенства, получаем AB ^. BP ^. CQ ^. DQ ^. FR ^. ER > ER ^. DQ ^. AP ^. FR ^. BP ^. CQ, чего не может быть. Поэтому диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	5
Название	Шестиугольники
Тема	Шестиугольники
задача
Номер	06.051