Условие
Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике
каждая из трех диагоналей, соединяющих противоположные
вершины, делит площадь пополам, то эти диагонали пересекаются в одной
точке.
Решение
Предположим, что диагонали шестиугольника образуют
треугольник
PQR. Обозначим вершины шестиугольника следующим
образом: вершина
A лежит на луче
QP,
B — на
RP,
C —
на
RQ и т. д. Так как прямые
AD и
BE делят площадь шестиугольника
пополам, то
SAPEF +
SPED =
SPDCB +
SABP
и
SAPEF +
SABP =
SPDCB +
SPED. Поэтому
SABP =
SPED, т. е.
AP . BP = EP . DP = (ER + RP)(DQ + QP) > ER . DQ.
Аналогично
CQ . DQ >
AP . FR и
FR . ER >
BP . CQ.
Перемножая эти неравенства, получаем
AB . BP . CQ . DQ . FR . ER >
ER . DQ . AP . FR . BP . CQ,
чего не может
быть. Поэтому диагонали шестиугольника пересекаются в
одной точке.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
6 |
|
Название |
Многоугольники |
|
Тема |
Многоугольники |
|
параграф |
|
Номер |
5 |
|
Название |
Шестиугольники |
|
Тема |
Шестиугольники |
|
задача |
|
Номер |
06.051 |
