Задача 57064

Тема:    [ Шестиугольники ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике каждый из трех отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, делит площадь пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке.

Решение

Обозначим середины сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF так, как показано на рис. Пусть O — точка пересечения отрезков KM и LN. Площади треугольников, на которые делят шестиугольник отрезки, соединяющие точку O с вершинами и серединами сторон, обозначим так, как показано на том же рисунке. Легко проверить, что  S_KONF = S_LOMC, т. е. a + f = c + d. Следовательно, ломаная POQ делит шестиугольник на две части равной площади, а значит, отрезок PQ проходит через точку O.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	5
Название	Шестиугольники
Тема	Шестиугольники
задача
Номер	06.052