Условие
Вписанный многоугольник разбит непересекающимися
диагоналями на треугольники. Докажите, что сумма радиусов всех
вписанных в эти треугольники окружностей не зависит от разбиения.
Решение
Пусть ABC — треугольник, вписанный в окружность S.
Обозначим расстояния от центра O окружности до сторон BC, CA
и AB через a, b и c соответственно. Тогда R + r = a + b + c, если
точка O лежит внутри треугольника ABC, и
R + r = - a + b + c, если
точки O и A лежат по разные стороны от прямой BC (см. задачу 12.38).
Каждая из диагоналей разбиения принадлежит двум треугольникам
разбиения. Для одного из этих треугольников точка O и оставшаяся
вершина лежат по одну сторону от диагонали, для другого — по разные
стороны. Разбиение n-угольника непересекающимися диагоналями на
треугольники состоит из n - 2 треугольников. Поэтому
сумма
(n - 2)R + r1 + ... + rn - 2 равна сумме расстояний от точки O до
сторон n-угольника (расстояния до сторон берутся с
соответствующими знаками). Из этого видно, что
сумма
r1 + ... + rn - 2 не зависит от разбиения.
Источники и прецеденты использования
