Условие
Два
n-угольника вписаны в одну окружность, причем
наборы длин их сторон одинаковы, но не обязательно равны
соответственные стороны. Докажите, что площади этих многоугольников
равны.
Решение
Пусть многоугольник
A1...
An вписан в окружность.
Рассмотрим точку
A2', симметричную точке
A2 относительно
серединного перпендикуляра к отрезку
A1A3. Тогда
многоугольник
A1A2'
A3...
An вписанный и его площадь равна
площади многоугольника
A1...
An. Таким образом можно поменять
местами любые две соседние стороны, а значит, можно поменять местами
любые две стороны. Поэтому к любой стороне можно к подогнатьк любую
другую сторону, к ней — любую из оставшихся и т. д. Следовательно,
площадь
n-угольника, вписанного в данную окружность, зависит только
от набора длин сторон, но не от их порядка.
Источники и прецеденты использования
