Условие
Два n-угольника вписаны в одну окружность, причем
наборы длин их сторон одинаковы, но не обязательно равны
соответственные стороны. Докажите, что площади этих многоугольников
равны.
Решение
Пусть многоугольник
A1...An вписан в окружность.
Рассмотрим точку A2', симметричную точке A2 относительно
серединного перпендикуляра к отрезку A1A3. Тогда
многоугольник
A1A2'A3...An вписанный и его площадь равна
площади многоугольника
A1...An. Таким образом можно поменять
местами любые две соседние стороны, а значит, можно поменять местами
любые две стороны. Поэтому к любой стороне можно к подогнатьк любую
другую сторону, к ней — любую из оставшихся и т. д. Следовательно,
площадь n-угольника, вписанного в данную окружность, зависит только
от набора длин сторон, но не от их порядка.
Источники и прецеденты использования
