Задача 57094

Тема:    [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

Положительные числа  a₁,..., a_n таковы, что  2a_i < a₁ + ... + a_n при всех  i = 1,..., n. Докажите, что существует вписанный n-угольник, длины сторон которого равны  a₁,..., a_n.

Решение

Без ограничения общности можно считать, что a_n — наибольшее из чисел  a₁,..., a_n. Пусть n-угольник  A₁...A_n вписан в окружность с центром O. Тогда  A_iA_{i + 1} : A₁A_n = sin(A_iOA_{i + 1}/2) : sin(A₁OA_n/2). Поэтому поступим следующим образом. Из соотношения  sin(/2) : sin(/2) = a_i : a_n угол  однозначно выражается через , если  < . На окружности радиуса 1 фиксируем точку A_n и рассмотрим такие переменные точки  A₁,..., A_{n - 1}, A_n', что  A_nA₁ = , A₁A₂ = ,..., A_{n - 2}A_{n - 1} = и  A_{n - 1}A_n' = , причем расположим эти точки двумя различными способами, изображенными на рис. (первый способ (рис., а) будет соответствовать n-угольнику, содержащему центр окружности, а второй (рис., б) — не содержащему). Остается доказать, что при изменении  от 0 до  в одном из этих случаев точка A_n' совпадает с A_n (в самом деле, тогда с точностью до подобия получается искомый n-угольник). Предположим, что в первом случае при  0 точки A_n' и A_n никогда не совпадают, т. е. при  = выполняется неравенство  + ... + < . Рисунок 6.16, б требует некоторых комментариев: при малых углах  sin , поэтому из условия задачи следует, что при малых углах точка A_n действительно лежит на дуге A₁A_n', так как  + ... + > . Итак, при малых углах  + ... + > , а если  = , то согласно предположению  + ... + < = . Поэтому в некоторый момент  = + ... + , т. е. точки A_n и A_n' совпадают.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	7
Название	Вписанные и описанные многоугольники
Тема	Вписанные и описанные многоугольники
задача
Номер	06.081