Задача 57095

Тема:    [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Точка, лежащая внутри описанного n-угольника, соединена отрезками со всеми вершинами и точками касания. Образовавшиеся при этом треугольники попеременно окрашены в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных треугольников равно произведению площадей синих треугольников.

Решение

Пусть  h₁,..., h_n — расстояния от данной точки до соответствующих сторон,  a₁,..., a_n — расстояния от вершин многоугольника до точек касания. Тогда произведение площадей как красных, так и синих треугольников равно a₁...a_nh₁...h_n/2ⁿ.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	7
Название	Вписанные и описанные многоугольники
Тема	Вписанные и описанные многоугольники
задача
Номер	06.082