Информация о задаче

Задача 57096

Тема:

[

Вписанные и описанные многоугольники

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

В 2n-угольнике (n нечетно) A₁...A_2n, описанном около окружности с центром O, диагонали A₁A_{n + 1}, A₂A_{n + 2},..., A_{n - 1}A_{2n - 1} проходят через точку O. Докажите, что и диагональ A_nA_2n проходит через точку O.

Решение

Пусть OH_i — высота треугольника OA_iA_{i + 1}. Тогда $\angle$ H_{i - 1}OA_i = $\angle$ H_iOA_i = $\varphi_{i}^{}$ . Из условия задачи следует, что $\varphi_{1}^{}$ + $\varphi_{2}^{}$ = $\varphi_{n+1}^{}$ + $\varphi_{n+2}^{}$ , $\varphi_{n+2}^{}$ + $\varphi_{n+3}^{}$ = $\varphi_{2}^{}$ + $\varphi_{3}^{}$ , $\varphi_{3}^{}$ + $\varphi_{4}^{}$ = $\varphi_{n+3}^{}$ + $\varphi_{n+4}^{}$ ,..., $\varphi_{n-2}^{}$ + $\varphi_{n-1}^{}$ = $\varphi_{2n-2}^{}$ + $\varphi_{2n-1}^{}$ (при записи последнего равенства мы учли, что n нечетно) и $\varphi_{n-1}^{}$ + 2 $\varphi_{n}^{}$ + $\varphi_{n+1}^{}$ = $\varphi_{2n-1}^{}$ + 2 $\varphi_{2n}^{}$ + $\varphi_{1}^{}$ . Складывая все эти равенства, получаем $\varphi_{n-1}^{}$ + $\varphi_{n}^{}$ = $\varphi_{2n-1}^{}$ + $\varphi_{2n}^{}$ , что и требовалось.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	7
Название	Вписанные и описанные многоугольники
Тема	Вписанные и описанные многоугольники
задача
Номер	06.083