Задача 57097

Тема:    [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Окружность радиуса r касается сторон многоугольника в точках  A₁,..., A_n, причем длина стороны, на которой лежит точка A_i, равна a_i. Точка X удалена от центра окружности на расстояние d. Докажите, что a₁XA₁² + ... + a_nXA_n² = P(r² + d²), где P — периметр многоугольника.

Решение

Пусть O — центр данной окружности. Тогда  = + , а значит,  XA_i² = XO² + OA_i² + 2(,) = d² + r² + 2(,). Так как  a₁ + ... + a_n = (см. задачу 13.4), то  a₁XA₁² + ... + a_nXA_n² = (a₁ + ... + a_n)(d² + r²).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	7
Название	Вписанные и описанные многоугольники
Тема	Вписанные и описанные многоугольники
задача
Номер	06.084