Задача 57099
|
|
 |
Условие
Некоторые стороны выпуклого многоугольника красные,
остальные синие. Сумма длин красных сторон меньше половины периметра, и
нет ни одной пары соседних синих сторон. Докажите, что в этот
многоугольник нельзя вписать окружность.
Решение
Пусть BC — синяя сторона, AB и CD —
соседние с BC стороны. По условию стороны AB и CD красные.
Предположим, что многоугольник описанный; P, Q, R — точки касания
сторон AB, BC, CD с вписанной окружностью. Ясно, что
BP = BQ, CR = CQ и
отрезки BP, CR граничат только с одним синим отрезком. Поэтому сумма
длин красных сторон не меньше суммы длин синих сторон. Получено
противоречие с тем, что сумма длин красных сторон меньше половины
периметра. Поэтому в многоугольник нельзя вписать окружность.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 6 |
| Название | Многоугольники |
| Тема | Многоугольники |
| параграф | |
| Номер | 7 |
| Название | Вписанные и описанные многоугольники |
| Тема | Вписанные и описанные многоугольники |
| задача | |
| Номер | 06.086 |
