Задача 57100

Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

Решение

Пусть выпуклый n-угольник имеет k острых углов. Тогда сумма его углов меньше  k ^. 90^o + (n - k) ^. 180^o. С другой стороны, сумма углов n-угольника равна (n-2) ^. 180^o. Поэтому (n-2) ^. 180^o < k ^. 90^o + (n - k) ^. 180^o, т. е. k < 4. Поскольку k — целое число, k 3.
Для любого n 3 существует выпуклый n-угольник с тремя острыми углами (рис.).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	8
Название	Произвольные выпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые многоугольники
задача
Номер	06.087