Задача 57102
|
|
 |
Условие
Для каких n существует выпуклый n-угольник,
у которого одна сторона имеет длину 1, а длины всех диагоналей —
целые числа?
Решение
Докажем, что n 5. Пусть AB = 1, а C —
вершина, не соседняя ни с A, ни с B. Тогда
| AC - BC| < AB = 1.
Поэтому AC = BC, т. е. точка C лежит на серединном перпендикуляре к
стороне AB. Таким образом, кроме вершин A, B, C многоугольник может
иметь еще лишь две вершины.
Пример пятиугольника, обладающего требуемым свойством, приведен на
рис. Поясним, как он устроен. ACDE — прямоугольник, AC = ED = 1
и
CAD = 60o. Точка B задается условием BE = BD = 3.
Примером четырехугольника, обладающего требуемым свойством,
является прямоугольник ACDE на том же рисунке.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 6 |
| Название | Многоугольники |
| Тема | Многоугольники |
| параграф | |
| Номер | 8 |
| Название | Произвольные выпуклые многоугольники |
| Тема | Выпуклые многоугольники |
| задача | |
| Номер | 06.089 |
