Условие
Может ли выпуклый неправильный пятиугольник иметь ровно
четыре стороны одинаковой длины и ровно четыре диагонали одинаковой
длины?
Может ли в таком пятиугольнике пятая сторона иметь общую точку с пятой
диагональю?
Решение
Пример пятиугольника, удовлетворяющего условию задачи,
приведен на рис. Поясним, как он устроен. Возьмем
равнобедренный прямоугольный треугольник EAB, проведем серединные
перпендикуляры к сторонам EA, AB и на них построим точки C
и D так,
что ED = BC = AB (т. е. прямые BC и ED образуют
с соответствующими серединными перпендикулярами углы в
30o).
Ясно, что
DE = BC = AB = EA < EB < DC и
DB = DA = CA = CE > EB.
Докажем теперь, что пятая сторона и пятая диагональ не могут
иметь общей точки. Предположим, что пятая сторона AB имеет
общую точку A с пятой диагональю. Тогда пятая диагональ — это AC
или AD. Разберем эти два случая.
В первом случае
AED = CDE, поэтому при симметрии
относительно серединного перпендикуляра к отрезку ED точка A
переходит в точку C. Точка B
при этой симметрии остается на
месте, так как BE = BD. Поэтому отрезок AB переходит в CB,
т. е. AB = CB. Получено противоречие.
Во втором случае
ACE = EBD, поэтому при симметрии
относительно биссектрисы угла AED отрезок AB переходит в DC,
т. е. AB = CD. Получено противоречие.
Источники и прецеденты использования
