Задача 57103

Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 5+ Классы: 9

Условие

Может ли выпуклый неправильный пятиугольник иметь ровно четыре стороны одинаковой длины и ровно четыре диагонали одинаковой длины?
Может ли в таком пятиугольнике пятая сторона иметь общую точку с пятой диагональю?

Решение

Пример пятиугольника, удовлетворяющего условию задачи, приведен на рис. Поясним, как он устроен. Возьмем равнобедренный прямоугольный треугольник EAB, проведем серединные перпендикуляры к сторонам EA, AB и на них построим точки C и D так, что ED = BC = AB (т. е. прямые BC и ED образуют с соответствующими серединными перпендикулярами углы в  30^o). Ясно, что  DE = BC = AB = EA < EB < DC и  DB = DA = CA = CE > EB.
Докажем теперь, что пятая сторона и пятая диагональ не могут иметь общей точки. Предположим, что пятая сторона AB имеет общую точку A с пятой диагональю. Тогда пятая диагональ — это AC или AD. Разберем эти два случая.
В первом случае  AED = CDE, поэтому при симметрии относительно серединного перпендикуляра к отрезку ED точка A переходит в точку C. Точка B при этой симметрии остается на месте, так как BE = BD. Поэтому отрезок AB переходит в CB, т. е. AB = CB. Получено противоречие.
Во втором случае  ACE = EBD, поэтому при симметрии относительно биссектрисы угла AED отрезок AB переходит в DC, т. е. AB = CD. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	8
Название	Произвольные выпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые многоугольники
задача
Номер	06.090