Информация о задаче

Задача 57104

Тема:

[

Выпуклые многоугольники

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Точка O, лежащая внутри выпуклого многоугольника, образует с каждыми двумя его вершинами равнобедренный треугольник. Докажите, что точка O равноудалена от вершин этого многоугольника.

Решение

Рассмотрим две соседние вершины A₁ и A₂. Если $\angle$ A₁OA₂ $\geq$ 90^o, то OA₁ = OA₂, так как к основанию равнобедренного треугольника не может прилегать прямой или тупой угол.
Пусть теперь $\angle$ A₁OA₂ < 90^o. Проведем через точку O прямые l₁ и l₂, перпендикулярные прямым OA₁ и OA₂. Обозначим области, на которые эти прямые разбивают плоскость, так, как показано на рис. Если в области (3) есть вершина A_k, то A₁O = A_kO = A₂O, поскольку $\angle$ A₁OA_k $\geq$ 90^o и $\angle$ A₂OA_k $\geq$ 90^o. Если же в области (3) нет вершин многоугольника, то в области (1) есть вершина A_p и в области (2) есть вершина A_q. (Если бы в одной из областей (1),(2) не было вершин многоугольника, то точка O оказалась бы вне многоугольника.) Так как $\angle$ A₁OA_q $\geq$ 90^o, $\angle$ A₂OA_p $\geq$ 90^o и $\angle$ A_pOA_q $\geq$ 90^o, то A₁O = A_qO = A_pO = A₂O.
Остается заметить, что если расстояния от точки O до любой пары соседних вершин многоугольника равны, то равны и все расстояния от точки O до вершин многоугольника.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	8
Название	Произвольные выпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые многоугольники
задача
Номер	06.091