Задача 57134

Тема:    [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На плоскости даны точки A и B. Найдите ГМТ M, для которых разность квадратов длин отрезков AM и BM постоянна.

Решение

Введем систему координат, выбрав точку A в качестве начала координат и направив ось Ox по лучу AB. Пусть точка M имеет координаты (x, y). Тогда  AM² = x² + y² и  BM² = (x - a)² + y², где a = AB. Поэтому  AM² - BM² = 2ax - a². Эта величина равна k для точек M с координатами  ((a² + k)/2a, y); все такие точки лежат на прямой, перпендикулярной AB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	1
Название	ГМТ - прямая или отрезок
Тема	ГМТ - прямая или отрезок
задача
Номер	07.006