Условие
Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего
углов треугольника ABC и Sa — окружность с диаметром DE,
окружности Sb и Sc определяются аналогично. Докажите, что:
а) окружности Sa, Sb и Sc имеют две общие точки M и N,
причем прямая MN проходит через центр описанной окружности
треугольника ABC;
б) проекции точки M (и точки N) на стороны треугольника ABC
образуют правильный треугольник.
Решение
а) Рассматриваемые окружности являются окружностями
Аполлония для пар вершин треугольника ABC, поэтому если X —
общая точка окружностей Sa и Sb, то
XB : XC = AB : AC
и
XC : XA = BC : BA, т. е.
XB : XA = CB : CA, а
значит, точка X принадлежит окружности Sc. Ясно также, что
если AB > BC, то точка D лежит внутри окружности Sb, а
точка A — вне ее. Следовательно, окружности Sa и Sb
пересекаются в двух различных точках.
Для завершения доказательства остается воспользоваться результатом
задачи 7.49.
б) Согласно задаче а)
MA = 
/a, MB = /b и
MC = /c. Пусть B1
и C1 — проекции точки M на прямые AC и AB. Точки B1
и C1 лежат на окружности с диаметром MA, поэтому
B1C1 = MA sin B1AC1 = (/a)(a/2R) = /2R, где R — радиус описанной окружности
треугольника ABC. Аналогично
A1C1 = A1B1 = /(2R).
Источники и прецеденты использования
