Задача 57146

Тема:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Треугольник ABC правильный, M — некоторая точка. Докажите, что если числа AM, BM и CM образуют геометрическую прогрессию, то знаменатель этой прогрессии меньше 2.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — такие точки, что  = 4/3 и  = 4/3. Легко проверить, что если BM > 2AM, то точка M лежит внутри окружности S₁ радиуса 2AB/3 с центром O₁ (см. задачу 7.14), а если CM > 2BM, то точка M лежит внутри окружности S₂ радиуса 2AB/3 с центром O₂. Так как  O₁O₂ > BO₁ = 4AB/3, а сумма радиусов окружностей S₁ и S₂ равна 4AB/3, то эти окружности не пересекаются. Следовательно, если BM = qAM и CM = qBM, то q < 2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	2
Название	ГМТ - окружность или дуга окружности
Тема	ГМТ - окружность или дуга окружности
задача
Номер	07.017