Условие
Через середину каждой диагонали выпуклого
четырехугольника проводится прямая, параллельная другой
диагонали. Эти прямые пересекаются в точке O. Докажите, что
отрезки, соединяющие точку O с серединами сторон четырехугольника,
делят его площадь на равные части.
Решение
Обозначим середины диагоналей AC и BD
четырехугольника ABCD через M и N соответственно. Ясно,
что
SAMB = SBMC и
SAMD = SDMC, т. е.
SDABM = SBCDM.
Поскольку при перемещении точки M параллельно BD площади
четырехугольников DABM и BCDM не изменяются,
то
SDABO = SBCDO. Аналогичные рассуждения для точки N
показывают, что
SABCO = SCDAO. Поэтому
SADO + SABO = SBCO + SCDO и
SABO + SBCO = SCDO + SADO,
а значит,
SADO = SBCO = S1
и
SABO = SCDO = S2, т. е. площадь каждой из четырех частей, на
которые отрезки, соединяющие точку O с серединами сторон
четырехугольника, разбивают его, равна
(S1 + S2)/2.
Источники и прецеденты использования
