Задача 57163

Тема:    [ Метод ГМТ ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Точки A, B и C таковы, что для любой четвертой точки M либо MA MB, либо MA MC. Докажите, что точка A лежит на отрезке BC.

Решение

Найдем ГМТ M, для которых MA > MB и MA > MC. Проведем серединные перпендикуляры l₁ и l₂ к отрезкам AB и AC. MA > MB для точек, лежащих внутри полуплоскости, заданной прямой l₁ и не содержащей точку A. Поэтому искомым ГМТ является пересечение полуплоскостей (без границ), заданных прямыми l₁, l₂ и не содержащих точку A. Если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то это ГМТ всегда непусто. Если A, B, C лежат на одной прямой, но A не лежит на отрезке BC, то это ГМТ тоже непусто. Если же A лежит на отрезке BC, то это ГМТ пусто, т. е. для любой точки M либо MA MB, либо MA MC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	6
Название	Метод ГМТ
Тема	Метод ГМТ
задача
Номер	07.034