Задача 57174

Тема:    [ Теорема Карно ]

Сложность: 5+ Классы: 9

Условие

На прямой l взяты точки A₁, B₁ и C₁ и из вершин треугольника ABC на эту прямую опущены перпендикуляры AA₂, BB₂ и CC₂. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁ и C₁ на прямые BC, CA и AB, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  : = : (отношения отрезков ориентированные).

Решение

Нужно выяснить, в каком случае выполняется равенство  AB₁² + BC₁² + CA₁² = BA₁² + CB₁² + AC₁². Вычитая из обеих частей этого равенства величину  AA₂² + BB₂² + CC₂², переходим к соотношению  A₂B₁² + B₂C₁² + C₂A₁² = B₂A₁² + C₂B₁² + A₂C₁², т. е.  (b₁ - a₂)² + (c₁ - b₂)² + (a₁ - c₂)² = (a₁ - b₂)² + (b₁ - c₂)² + (c₁ - a₂)², где a_i, b_i и c_i — координаты точек A_i, B_i и C_i на прямой l. После сокращения получаем  a₂b₁ + b₂c₁ + c₂a₁ = a₁b₂ + b₁c₂ + c₁a₂, а значит,  (b₂ - a₂)(c₁ - b₁) = (b₁ - a₁)(c₂ - b₂), т. е.  : = : .

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	8
Название	Теорема Карно
Тема	Теорема Карно
задача
Номер	07.044