Информация о задаче

Задача 57176

Тема:

[

Теорема Карно

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.

Решение

Отрезки, на которые биссектрисы делят стороны треугольника, легко вычисляются. В результате получаем, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис, пересекаются, то

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{ac}{b+c}}\right.$ $\displaystyle {\frac{ac}{b+c}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{ac}{b+c}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{ab}{a+c}}\right.$ $\displaystyle {\frac{ab}{a+c}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{ab}{a+c}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{bc}{a+b}}\right.$ $\displaystyle {\frac{bc}{a+b}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{bc}{a+b}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{ab}{b+c}}\right.$ $\displaystyle {\frac{ab}{b+c}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{ab}{b+c}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{bc}{a+c}}\right.$ $\displaystyle {\frac{bc}{a+c}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{bc}{a+c}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{ac}{a+b}}\right.$ $\displaystyle {\frac{ac}{a+b}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{ac}{a+b}}\right)^{2}_{}$ ,

т. е.

0 = $\displaystyle {\frac{a^2(c-b)}{b+c}}$ + $\displaystyle {\frac{b^2(a-c)}{a+c}}$ + $\displaystyle {\frac{c^2(b-a)}{a+b}}$ = - $\displaystyle {\frac{(b-a)(a-c)(c-b)(a^2+b^2+c^2)}{(a+b)(a+c)(b+c)}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	8
Название	Теорема Карно
Тема	Теорема Карно
задача
Номер	07.046