Задача 57177

Тема:    [ Окружность Ферма-Аполлония ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Условие

Докажите, что множество точек X, обладающих тем свойством, что  k₁A₁X² + ... + k_nA_nX² = c:
а) при  k₁ + ... + k_n 0 является окружностью или пустым множеством;
б) при  k₁ + ... + k_n = 0 является прямой, плоскостью или пустым множеством.

Решение

Пусть (a_i, b_i) — координаты точки A_i, (x, y) — координаты точки X. Тогда уравнение, которому удовлетворяет точка X, перепишется в виде c = k_i((x-a_i)²+(x-b_i)²) = k_i(x² + y²) - 2k_ia_ix - 2k_ib_iy + k_i(a_i² + b_i²). Если коэффициент при x² + y² отличен от нуля, то это уравнение задает окружность или пустое множество, а если он равен нулю, то уравнение задает прямую, плоскость или пустое множество.
Замечание. Если в случае а) точки  A₁,..., A_n лежат на одной прямой l, то эту прямую можно выбрать в качестве оси Ox. Тогда b_i = 0, а значит, коэффициент при y равен нулю, т. е. центр окружности лежит на прямой l.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	9
Название	Окружность Ферма-Аполлония
Тема	Окружность Ферма-Аполлония
задача
Номер	07.047