Информация о задаче

Задача 57177

Тема:

[

Окружность Ферма-Аполлония

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что множество точек X, обладающих тем свойством, что k₁A₁X² + ... + k_nA_nX² = c:
а) при k₁ + ... + k_n $\ne$ 0 является окружностью или пустым множеством;
б) при k₁ + ... + k_n = 0 является прямой, плоскостью или пустым множеством.

Решение

Пусть (a_i, b_i) — координаты точки A_i, (x, y) — координаты точки X. Тогда уравнение, которому удовлетворяет точка X, перепишется в виде c = $\sum$ k_i((x-a_i)²+(x-b_i)²) = $\left(\vphantom{\sum k_i}\right.$ $\sum$ k_i $\left.\vphantom{\sum k_i}\right)$ (x² + y²) - $\left(\vphantom{2\sum k_ia_i}\right.$ 2 $\sum$ k_ia_i $\left.\vphantom{2\sum k_ia_i}\right)$ x - $\left(\vphantom{2\sum k_ib_i}\right.$ 2 $\sum$ k_ib_i $\left.\vphantom{2\sum k_ib_i}\right)$ y + $\sum$ k_i(a_i² + b_i²). Если коэффициент при x² + y² отличен от нуля, то это уравнение задает окружность или пустое множество, а если он равен нулю, то уравнение задает прямую, плоскость или пустое множество.
Замечание. Если в случае а) точки A₁,..., A_n лежат на одной прямой l, то эту прямую можно выбрать в качестве оси Ox. Тогда b_i = 0, а значит, коэффициент при y равен нулю, т. е. центр окружности лежит на прямой l.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	7
Название	Геометрические места точек
Тема	Геометрические Места Точек
параграф
Номер	9
Название	Окружность Ферма-Аполлония
Тема	Окружность Ферма-Аполлония
задача
Номер	07.047