Условие
Постройте треугольник ABC по ha, b - c и r.
Решение
Предположим, что искомый треугольник ABC построен.
Пусть Q — точка касания вписанной окружности со стороной BC, PQ — диаметр этой окружности, R — точка касания вневписанной
окружности со стороной BC. Ясно, что
BR = (a + b + c)/2 - c = (a + b - c)/2
и
BQ = (a + c - b)/2. Поэтому
RQ = | BR - BQ| = | b - c|. Вписанная окружность
треугольника ABC и вневписанная окружность, касающаяся стороны BC,
гомотетичны с центром гомотетии A. Поэтому точка A лежит на
прямой PR (рис.).
Из этого вытекает следующее построение. Строим прямоугольный
треугольник PQR по известным катетам PQ = 2r и RQ = | b - c|. Затем
проводим две прямые, параллельные прямой RQ и удаленные от
нее на расстояние ha. Вершина A является точкой пересечения одной
из этих прямых с лучом RP. Так как длина диаметра PQ вписанной
окружности известна, ее можно построить. Точки пересечения
касательных к этой окружности, проведенных из точки A, с прямой RQ
являются вершинами B и C треугольника.
Источники и прецеденты использования
