Информация о задаче

Задача 57237

Тема:

[

Треугольник (построения)

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На стороне AB треугольника ABC дана точка P. Проведите через точку P прямую (отличную от AB), пересекающую лучи CA и CB в таких точках M и N, что AM = BN.

Решение

Возьмем на сторонах BC и AC такие точки A₁ и B₁, что PA₁| AC и PB₁| BC. Затем отложим на лучах A₁B и B₁A отрезки A₁B₂ = AB₁ и B₁A₂ = BA₁. Докажем, что прямая A₂B₂ искомая. В самом деле, пусть k = AP/AB. Тогда

$\displaystyle {\frac{B_1A_2}{B_1P}}$ = $\displaystyle {\frac{(1-k)a}{ka}}$ = $\displaystyle {\frac{(1-k)a+(1-k)b}{ka+kb}}$ = $\displaystyle {\frac{CA_2}{CB_2}}$ ,

т. е. $\triangle$ A₂B₁P $\sim$ $\triangle$ A₂CB₂ и прямая A₂B₂ проходит через точку P. Кроме того, AA₂ = |(1 - k)a - kb| = BB₂.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	8
Название	Построения
Тема	Построения
параграф
Номер	6
Название	Треугольник
Тема	Треугольник (построения)
задача
Номер	08.043