На плоскости дан угол, образованный двумя лучами a и b, и некоторая точка M.
Провести через точку M прямую c так, чтобы треугольник, образованный прямыми a, b и c, имел периметр данной величины.

   Решение

Тема:    [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 3 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан больше 3/4 периметра, но меньше периметра.

Решение

Из предыдущей задачи следует  m_a < (b + c)/2, m_b < (a + c)/2 и  m_c < (a + b)/2, поэтому сумма длин медиан меньше периметра.
Пусть O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда  BO + OA > BA, AO + OC > AC и CO + OB > CB. Складывая эти неравенства и учитывая, что  AO = 2m_a/3, BO = 2m_b/3, CO = 2m_c/3, получаем  m_a + m_b + m_c > 3(a + b + c)/4.

Источники и прецеденты использования