Задача 57306

Тема:    [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 3 Классы: 8

Условие

Даны n точек  A₁,..., A_n и окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку M так, что  MA₁ + ... + MA_n n.

Решение

Пусть M₁ и M₂ — диаметрально противоположные точки окружности. Тогда  M₁A_k + M₂A_k M₁M₂ = 2. Складывая эти неравенства для  k = 1,..., n, получаем  (M₁A₁ + ... + M₁A_n) + (M₂A₁ + ... + M₂A_n) 2n. Поэтому либо  M₁A₁ + ... + M₁A_n n, и тогда положим M = M₁, либо  M₂A₁ + ... + M₂A_n n, и тогда положим M = M₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	1
Название	Медиана треугольника
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	09.003