Задача 57307

Тема:    [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 4 Классы: 8

Условие

Точки  A₁,..., A_n не лежат на одной прямой. Пусть две разные точки P и Q обладают тем свойством, что  A₁P + ... + A_nP = A₁Q + ... + A_nQ = s. Докажите, что тогда  A₁K + ... + A_nK < s для некоторой точки K.

Решение

В качестве K можно взять середину отрезка PQ. В самом деле, тогда  A_iK (A_iP + A_iQ)/2 (см. задачу 9.1), причем хотя бы одно неравенство строгое, так как точки A_i не могут все лежать на прямой PQ.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	1
Название	Медиана треугольника
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	09.004