Задача 57308

Тема:    [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 5 Классы: 8

Условие

На столе лежит 50 правильно идущих часов. Докажите, что в некоторый момент сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок окажется больше суммы расстояний от центра стола до центров часов.

Решение

Пусть A_i и B_i — положения конца минутных стрелок часов с номером i в моменты t и  t + 30 мин, O_i — центр i-х часов, а O — центр стола. Тогда  OO_i (OA_i + OB_i)/2 для любого i (см. задачу 9.1). Ясно, что в некоторый момент точки A_i и B_i не лежат на прямой O_iO, т. е. по крайней мере одно из n неравенств становится строгим. Тогда либо  OO₁ + ... + OO_n < OA₁ + ... + OA_n, либо  OO₁ + ... + OO_n < OB₁ + ... + OB_n.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	1
Название	Медиана треугольника
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	09.005