Задача 57310

Тема:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 2 Классы: 8

Условие

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что  a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca).

Решение

По неравенству треугольника  a² > (b - c)² = b² - 2bc + c², b² > a² - 2ac + c² и  c² > a² - 2ab + b². Складывая эти неравенства, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	2
Название	Алгебраические задачи на неравенство треугольника
Тема	Алгебраические задачи на неравенство треугольника
задача
Номер	09.007