Дана функция    ,   где трёхчлены  x² + ax + b  и  x² + cx + d  не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
  1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
  2)  f(x) представима в виде:  f(x) = f₁(f₂(...f_n–1(f_n(x))...)),  где каждая из функций  f_i(x) есть функция одного из видов:   k_ix + b_i, x^–1, x².

   Решение

Тема:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

Решение

Так как  c(a - b)² + 4abc = c(a + b)², то  a(b - c)² + b(c - a)² + c(a - b)² + 4abc - a³ - b³ - c³ = a((b - c)² - a²) + b((c - a)² - b²) + c((a + b)² - c²) = (a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c). (Последнее равенство проверяется простым вычислением.) Все три сомножителя положительны в силу неравенства треугольника.

Источники и прецеденты использования