Задача 57320

Тема:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 8

Условие

Внутри выпуклого четырехугольника с суммой длин диагоналей d расположен выпуклый четырехугольник с суммой длин диагоналей d'. Докажите, что d' < 2d.

Решение

Докажем сначала, что если P — периметр выпуклого четырехугольника ABCD, a d₁ и d₂ — длины его диагоналей, то  P > d₁ + d₂ > P/2. Ясно, что AC < AB + BC и AC < AD + DC, поэтому  AC < (AB + BC + CD + AD)/2 = P/2. Аналогично BD < P/2. Следовательно, AC + BD < P. С другой стороны, складывая неравенства  AB + CD < AC + BD и  BC + AD < AC + BD (см. задачу 9.14), получаем  P < 2(AC + BD).
Пусть P — периметр внешнего четырехугольника, P' — периметр внутреннего. Тогда d > P/2, а так как P' < P (задача 9.27, б), то  d' < P' < P < 2d.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	3
Название	Сумма длин диагоналей четырехугольника
Тема	Сумма длин диагоналей четырехугольника
задача
Номер	09.016