ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57320
Тема:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри выпуклого четырехугольника с суммой длин диагоналей d расположен выпуклый четырехугольник с суммой длин диагоналей d'. Докажите, что d' < 2d.

Решение

Докажем сначала, что если P — периметр выпуклого четырехугольника ABCD, a d1 и d2 — длины его диагоналей, то  P > d1 + d2 > P/2. Ясно, что AC < AB + BC и AC < AD + DC, поэтому  AC < (AB + BC + CD + AD)/2 = P/2. Аналогично BD < P/2. Следовательно, AC + BD < P. С другой стороны, складывая неравенства  AB + CD < AC + BD и  BC + AD < AC + BD (см. задачу 9.14), получаем  P < 2(AC + BD).
Пусть P — периметр внешнего четырехугольника, P' — периметр внутреннего. Тогда d > P/2, а так как P' < P (задача 9.27, б), то  d' < P' < P < 2d.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 3
Название Сумма длин диагоналей четырехугольника
Тема Сумма длин диагоналей четырехугольника
задача
Номер 09.016

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .