Условие
Дана замкнутая ломаная, причем любая другая
замкнутая ломаная с теми же вершинами имеет большую
длину. Докажите, что эта ломаная несамопересекающаяся.
Решение
Пусть ломаная наименьшей длины самопересекающаяся.
Рассмотрим два пересекающихся звена. Вершины этих звеньев могут
соединяться одним из трех способов (рис.). Рассмотрим новую
ломаную, у которой два пересекающихся звена заменены на штриховые
звенья (см. рис.). При этом снова получается замкнутая
ломаная, но ее длина меньше, чем у исходной, так как сумма
длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника меньше
суммы длин диагоналей. Получено противоречие, поэтому замкнутая
ломаная наименьшей длины не может иметь пересекающихся звеньев.
Источники и прецеденты использования
